A.
PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan
benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat
dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam
himpunan tersebut.
B.
NOTASI HIMPUNAN
Biasanya,
nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A,
atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a,
c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak
membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di
bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
Notasi
|
Contoh
|
|
Himpunan
|
Huruf
besar
|
|
Elemen
himpunan
|
Huruf
kecil (jika merupakan huruf)
|
|
Kelas
|
Huruf
tulisan tangan
|
|
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti
bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan
|
Asli
|
Bulat
|
Rasional
|
Riil
|
Kompleks
|
Notasi
|
|
|
|
|
|
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan
adalah:
Simbol
|
Arti
|
atau
|
Himpunan
kosong
|
|
Operasi
gabungan dua himpunan
|
|
Operasi
irisan dua himpunan
|
, , ,
|
Subhimpunan,
Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
|
|
Komplemen
|
|
Himpunan
kuasa
|
C.
JENIS – JENIS HIMPUNAN
Jenis Himpunan
Jenis
|
Notasi
|
Keterangan
|
Himpunan A
yang anggota-anggotanya semua huruf kecil dalam abjad (latin).
|
A = {a, b,
c, ...}
|
A
adalah nama yang diberikan kepada suatu himpunan
|
Himpunan
yang anggotanya sama banyak
|
A R B
|
A = {1, 2,
3, 4}
B = {a, b,
c, d}
Banyaknya
anggota A = 4 ditulis n(A) = 4.
Banyaknya
anggota B = 4, ditulis n(B) = 4.
n(A) =
n(B) = 4
|
Himpunan
yang sama
|
A = B
|
Himpunan A
dikatakan sama dengan himpunan B bila setiap anggota A juga menjadi anggota B
dan sebaliknya.
|
Himpunan
kosong
|
{ }
atau Ø
|
Himpunan
yang tidak mempunyai anggota sama sekali.
|
Himpunan
bagian
|
A
T B
|
A himpunan
bagian dari himpunan B.
|
Himpunan
universum atau semesta pembicaraan
|
U atau S
|
Adalah
himpunan dari semua unsur yang dibicarakan.
|
Himpunan
komplemen
|
A’ Atau Ac
|
U = {1, 2,
3, 4, 5, 6}.
A = {3, 5}
A’ = Ac
= himpunan komplemen dari A = {1, 2, 4, 6}
|
Himpunan
lepas (disjoint)
|
A ||
B
|
Himpunan A
lepas dari himpunan B bila tidak ada anggota A yang menjadi anggota B.
|
D.
MACAM – MACAM HIMPUNAN
1. Himpunan
bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
N = {1,2,3,4,5,6,......}
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
N = {1,2,3,4,5,6,......}
2. Himpunan
bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
P = {2,3,5,7,11,13,....}
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
P = {2,3,5,7,11,13,....}
3. Himpunan
bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
4. Himpunan
bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
5. Himpunan
bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain
6. Himpunan
bilangan irasional
Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: log 2, e, Ö7
Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: log 2, e, Ö7
7. Himpunan
bilangan riil
Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
8. Himpunan
bilangan imajiner
Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1
contoh: i, 4i, 5i
Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1
contoh: i, 4i, 5i
9. Himpunan
bilangan kompleks
Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner
Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner
E.
OPERASI HIMPUNAN
Jenis Operasi
|
Hukum dan sifat-sifat Operasi
|
|
1
|
Gabunan
(Union)
|
A U B = B
U A disebut sifat komutatif gabungan
(A U B) U
C = A U (B U C) disebut sifat asosiatif gabungan
A U Ø = A
A U U = U
A U A = A
A U A’ = U Disebut sifat komplemen gabungan
|
2
|
Irisan
(intersection)
|
A W B = B
W A disebut sifat komutatif irisan
A W A = A
A W = Ø
A W U = A
A W A’ = Ø
disebut sifat komplemen irisan
(A W B) W
C = A W (B W A) disebut sifat asosiatif irisan
|
2
|
Distributif
|
A U (B W
C) = (A U B) W (A U C); disebut sifat distributif gabungan terhadap irisan.
A W (B U
C) = (A W B) U (A W C); disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.
|
3
|
Selisih
|
A – A = Ø
A – Ø = A
A – B = A
W B’
A – (BUC)
= (A – B)W (A – C)
A – (B W
C) = (A – B)U(A – C)
|
4
|
Komplemen
|
(A’)’ = A
U’ = Ø
Ø’ = U
AUA’ = U
AWA’ = U
AWA’= Ø
|
5
|
Banyaknya
Anggota
|
n(A) +
n(B) K n(AUB)
n(AUB) =
n(A) + n(B) – n(AWB)
n(AUBUC) =
n(A) + n(B) + n(C) – n(AWB) – n(BWC) – n(CWA) + n(AWBWC)
n(A) +
n(B) = n(AUB) + n(AWB)
n(A) +
n(B) + n(C) =n(AUBUC) + n(AWB) + n(AWC) + n(BWC) – n(AWBWC)
|
Operasi
|
Diagram
|
|
Gabungan Himpunan
|
A = {a,b,c,d}
B = {e,f}
A U B = {a,b,c,d,e,f,}
|
|
A = {1,2,3,4}
C = {3,4,5}
A U C = {1,2,3,4,5}
|
|
|
E = {x,y,z}
F = {x}
E U F = {x,y,z}
|
|
|
Irisan
|
A = {a,b,c,d}
B = {c,d,e}
A W B= {c,d}
|
|
C = {a,b,c,d}
D = {a,b}
C W D = {a,b}
|
|
|
E = {a,b,c}
F = {1,2,3}
E W F = { Ø }
|
|
|
Selisih Himpunan
|
A = {a,b,c}
B = {d,e}
A / B = {a,b,c}
|
|
C = {1,2,3}
D = {3,4}
C / D = {1,2}
|
|
|
D / C = {4}
|
|
|
Himpunan Komplemen
|
A’ atau komplemen dari A
|
|
(A W B)’ = A’ U B’
|
|
|
A’ W B’ = (AUB)’
|
|
F.
DIAGRAM VENN
Pernyataan
|
Diagram
|
|
1
|
Himpunan Semesta U
|
|
2
|
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
|
|
3
|
ATU
|
|
4
|
ATU
BTA
BTU
|
|
5
|
A = B
|
|
6
|
CTBTATU
Contoh {Bilangan Asli}
A = {1,2,3,... 10}
B = {1,3,5,9}
C = {1,3}
|
|
G.
KESIMPULAN
A. Himpunan
adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat
dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam
himpunan tersebut.
B. Suatu
himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A,
B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut
ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.
C. Suatu
himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan kata-kata, dengan
notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.
D. Himpunan
yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Himpunan
yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.
E. Himpunan
semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau
objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan
S.
F. a. Himpunan
A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan
dinotasikan.
b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B dan dinotasikan
c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis .
d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah , dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.
b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B dan dinotasikan
c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis .
d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah , dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.
G. a. Dua
himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua
himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.
b. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.
c. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).
b. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.
c. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).
H. Irisan (interseksi)
dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota
persekutuan dari dua himpunan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan
dengan
I. Gabungan (union)
himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas
anggota-anggota A atau anggotaanggota B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan
dengan banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskan dengan.
J. Untuk setiap
himpunan A, B, dan C berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar