Rabu, 27 Maret 2013

Makalah Himpunan


HIMPUNAN

A.  PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
Himpunan Matematika
B.  NOTASI HIMPUNAN
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Notasi
Contoh
Himpunan
Huruf besar
S
Elemen himpunan
Huruf kecil (jika merupakan huruf)
a
Kelas
Huruf tulisan tangan
\mathcal{C}
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan
Asli
Bulat
Rasional
Riil
Kompleks
Notasi
\mathbb{N}
\mathbb{Z}
\mathbb{Q}
\mathbb{R}
\mathbb{C}
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Simbol
Arti
\{ \}atau \varnothing
Himpunan kosong
\cup
Operasi gabungan dua himpunan
\cap
Operasi irisan dua himpunan
\subseteq, \subset, \supseteq, \supset
Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
A^C
Komplemen
\mathcal{P}(A)
Himpunan kuasa


C.  JENIS – JENIS HIMPUNAN
Jenis Himpunan
Jenis
Notasi
Keterangan
Himpunan A yang anggota-anggotanya semua huruf kecil dalam abjad (latin).
A = {a, b, c, ...}
A  adalah nama yang diberikan kepada suatu himpunan
Himpunan yang anggotanya sama banyak
A R B
A = {1, 2, 3, 4}
B = {a, b, c, d}

Banyaknya anggota A = 4 ditulis n(A) = 4.
Banyaknya anggota B = 4, ditulis n(B) = 4.

n(A) = n(B) = 4
Himpunan yang sama
A = B
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B bila setiap anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya.
Himpunan kosong
{  } atau Ø
Himpunan yang tidak mempunyai anggota sama sekali.
Himpunan bagian
A  T  B
A himpunan bagian dari himpunan B.
Himpunan universum atau semesta pembicaraan
U atau S
Adalah himpunan dari semua unsur yang dibicarakan.
Himpunan komplemen
A’ Atau Ac
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A = {3, 5}
A’ = Ac = himpunan komplemen dari A = {1, 2, 4, 6}
Himpunan lepas (disjoint)
A  || B
Himpunan A lepas dari himpunan B bila tidak ada anggota A yang menjadi anggota B.


D.  MACAM – MACAM HIMPUNAN
1.    Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

N = {1,2,3,4,5,6,......}
2.    Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

P = {2,3,5,7,11,13,....}

3.    Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

4.    Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

5.    Himpunan bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain

6.    Himpunan bilangan irasional
Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.
contoh: log 2, e, Ö7

7.    Himpunan bilangan riil
Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.
contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
8.    Himpunan bilangan imajiner
Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1
contoh: i, 4i, 5i
9.    Himpunan bilangan kompleks
Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner

E.   OPERASI HIMPUNAN
Jenis Operasi
Hukum dan sifat-sifat Operasi
1
Gabunan (Union)
A U B = B U A disebut sifat komutatif gabungan
(A U B) U C = A U (B U C) disebut sifat asosiatif gabungan
A U Ø = A
A U U = U
A U A = A
A  U A’ = U Disebut sifat komplemen gabungan
2
Irisan (intersection)
A W B = B W A disebut sifat komutatif irisan
A W A = A
A W  = Ø
A W U = A
A W A’ = Ø disebut sifat komplemen irisan
(A W B) W C = A W (B W A) disebut sifat asosiatif irisan
2
Distributif
A U (B W C) = (A U B) W (A U C); disebut sifat distributif gabungan terhadap irisan.
A W (B U C) = (A W B) U (A W C); disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.
3
Selisih
A – A = Ø
A – Ø = A
A – B = A W B’
A – (BUC) = (A – B)W (A – C)
A – (B W C) = (A – B)U(A – C)
4
Komplemen
(A’)’ = A
U’ = Ø
Ø’ = U
AUA’ = U
AWA’ = U
AWA’= Ø
5
Banyaknya Anggota
n(A) + n(B) K n(AUB)
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(AWB)
n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AWB) – n(BWC) – n(CWA) + n(AWBWC)
n(A) + n(B) = n(AUB) + n(AWB)
n(A) + n(B) + n(C) =n(AUBUC) + n(AWB) + n(AWC) + n(BWC) – n(AWBWC)




Operasi
Diagram
Gabungan Himpunan
A = {a,b,c,d}
B = {e,f}
A U B = {a,b,c,d,e,f,}

http://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTee3isDhQI/AAAAAAAAADQ/vfPmVOcA84k/s200/7.jpg

A = {1,2,3,4}
C = {3,4,5}
A U C = {1,2,3,4,5}

http://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefXoCY8KI/AAAAAAAAADU/yxqZZjCEX7M/s200/8.jpg

E = {x,y,z}
F = {x}
E U F = {x,y,z}

http://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefcMwG4HI/AAAAAAAAADY/RqT_paaeld0/s200/9.jpg
Irisan
A = {a,b,c,d}
B = {c,d,e}
A W B= {c,d}

http://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTefjhHoyFI/AAAAAAAAADc/RoDtEQacktg/s200/8.jpg

C = {a,b,c,d}
D = {a,b}
C W D = {a,b}

http://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeklQwIiJI/AAAAAAAAAEI/pj-GfHugCfQ/s200/1b.jpg

E = {a,b,c}
F = {1,2,3}
E W F = { Ø }

http://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTekgxW7kLI/AAAAAAAAAEE/djWlZr3d_rs/s200/1a.jpg

Selisih Himpunan
A = {a,b,c}
B = {d,e}
A / B = {a,b,c}

http://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegBACJ3WI/AAAAAAAAADo/siRlIwOD__A/s200/13.jpg

C = {1,2,3}
D = {3,4}
C / D = {1,2}

http://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegPBSJniI/AAAAAAAAADw/VIs36tHLju4/s200/14.jpg


D / C = {4}

http://4.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegZkxvDDI/AAAAAAAAAD0/Xi46Ao7IFBg/s200/15.jpg
Himpunan Komplemen
A’ atau komplemen dari A

http://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeggS1eJ8I/AAAAAAAAAD4/Ypd19AmNzmk/s200/16.jpg

(A W B)’ = A’ U B’

http://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegn_MJa2I/AAAAAAAAAD8/CHYr1nljZDw/s200/18.jpg

A’ W B’ = (AUB)’

http://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTegr9-pNDI/AAAAAAAAAEA/Qu9d64Rk7GM/s200/19.jpg


F.  DIAGRAM VENN
Pernyataan
Diagram
1
Himpunan Semesta U

http://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeeEmzMONI/AAAAAAAAAC4/6NNCpqpke0U/s200/1.jpg

2
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

http://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeePXdVnzI/AAAAAAAAAC8/YSobt1-Prc8/s200/2.jpg
3
ATU

http://3.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeeXpPphcI/AAAAAAAAADA/MDlEjhACLRY/s200/3.jpg
4
ATU
BTA
BTU

http://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeel5WOnPI/AAAAAAAAADE/umfqL3MOJX0/s200/4.jpg
5
A = B

http://1.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeeuDyJu2I/AAAAAAAAADI/A4DiCCUW_GY/s200/5.jpg



6
CTBTATU
Contoh {Bilangan Asli}
A = {1,2,3,... 10}
B = {1,3,5,9}
C = {1,3}

http://2.bp.blogspot.com/_nqt7EF7KdPY/TTeeyDWzPyI/AAAAAAAAADM/y2gNGlagkdo/s200/6.jpg












G. KESIMPULAN
A.   Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut. 
B.   Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.
C.   Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.
D.   Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.
E.   Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan S.
F.    a. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan. 
b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B dan dinotasikan
c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis .
d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah , dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.
G.   a. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.
b. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.
c. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).
H.   Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan
I.      Gabungan (union) himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggotaanggota B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskan dengan.
J.    Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar